了解SVD与纠缠

无论利用哪种方式，我们都希望将其可视化，其中奇异值的作用（即对角矩阵D的作用）是关键。从直观上看，它们指示U和V存储的信息之间的``交互''量，并调解了这些交互是如何有助于原始矩阵M表示的信息。

而这正是纠缠数学背后的理念。 

在物理学的背景下，人们简单地将SVD应用于一个特定的矩阵，然后观察该矩阵的非零奇异值的数量。这就是所谓的量子态的施密特秩（下文会解释）背后的主要思想，该整数表示存在多少纠缠。  

纠缠度是通过特定矩阵的非奇异值的数量来衡量的。    

那么，是什么让物理学家对SVD的应用与例如建立电影推荐系统的人有所不同呢？好吧，在物理学中，你的矩阵M大概是对一个物理系统的信息进行编码，并考虑到空间因素（例如，晶格中的粒子）。它的条目也可能包含复数，并且其平方和应满足∑ij|Mij|2=1。在这种情况下，正如我在下面解释的那样--M 代表一个量子状态。但是，除了术语之外，模板是大同小异的：奇异值传达了关于两个事务之间--无论是用户和电影，还是两个量子子系统之间--是如何关联重要信息的。

我可以就此打住，但我想再深挖一下。在下一节中，让我用稍微专业一点的语言来重述此重点。

奇异值vs.施密特秩 

首先，让我们先回顾一下。在物理学的讨论中，我们应用SVD的矩阵到底是什么？在开始的示例中，我们将SVD应用于用户-电影矩阵。但是现在是怎么回事呢？ 

我们不是从一个矩阵开始，而是从一个单位向量开始。为此，假设ψ 是向量空间Cn⊗Cm的张量乘积中的任何单位向量。在这里，重要的是我们的讨论是在张量积中进行的。毕竟，纠缠是定义在两个事物之间的（所以，如果有人问你："有多少纠缠？"一个正确的回答是："什么之间的纠缠？"），而在量子力学中，张量积是用来组合两个系统的数学运算。现在，如果你对 "张量积 "这个词不熟悉，我推荐你看 "张量积，解密 "这篇文章。我想你会对这个概念的简单程度感到惊讶!  

好了，现在我们有了向量 ψ，很容易从中得到线性映射Cm→Cn。只需将ψ的条目重塑成一个n×m的矩阵M。(说得更正式些，看一看在有限维向量空间A和B的同构A⊗B∗≅hom(B,A)下的ψ)。
 

（编辑：常州站长网）

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